曲線 $y = 2\sqrt{x}$ に点 $(-2, 0)$ から引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2\sqrt{x}$ に点 $(-2, 0)$ から引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, 2\sqrt{t})$ とおく。ただし、$t > 0$ である。

次に、曲線 $y = 2\sqrt{x}$ を微分する。

$y' = \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

したがって、点 $(t, 2\sqrt{t})$ における接線の傾きは $\frac{1}{\sqrt{t}}$ である。

この接線の方程式は、

$y - 2\sqrt{t} = \frac{1}{\sqrt{t}}(x - t)$

この接線が点 $(-2, 0)$ を通るので、

$0 - 2\sqrt{t} = \frac{1}{\sqrt{t}}(-2 - t)$

$-2\sqrt{t} = \frac{-2 - t}{\sqrt{t}}$

両辺に $\sqrt{t}$ を掛けて、

$-2t = -2 - t$

$-t = -2$

$t = 2$

したがって、接点の座標は $(2, 2\sqrt{2})$ であり、接線の傾きは $\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

接線の方程式は、

$y - 2\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - 2)$

$y = \frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{2}{\sqrt{2}} + 2\sqrt{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{2}}x - \sqrt{2} + 2\sqrt{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \sqrt{2}$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{2}$