与えられた7つの関数の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x - x + 1}{(x-1)^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{2x}}$ (3) $\lim_{x \to +0} \sin x \log x$ (4) $\lim_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x)$ (5) $\lim_{x \to +0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x})$ (6) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (2x \tan x - \frac{\pi}{\cos x})$ (7) $\lim_{x \to +0} (-\log x)^x$

1. 問題の内容

与えられた7つの関数の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x - x + 1}{(x-1)^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{2x}}$

(3) $\lim_{x \to +0} \sin x \log x$

(4) $\lim_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

(5) $\lim_{x \to +0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x})$

(6) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (2x \tan x - \frac{\pi}{\cos x})$

(7) $\lim_{x \to +0} (-\log x)^x$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x - x + 1}{(x-1)^2}$

ロピタルの定理を2回適用します。

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x - x + 1}{(x-1)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{2(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1-x}{2x(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{-1}{2x} = -\frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{2x}}$

ロピタルの定理を3回適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{2e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{4e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{8e^{2x}} = 0$

(3) $\lim_{x \to +0} \sin x \log x$

$\lim_{x \to +0} \sin x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{\sin x}}$

ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{\sin x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to +0} -\frac{\sin^2 x}{x \cos x} = \lim_{x \to +0} -\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = -1 \cdot 0 = 0$

(4) $\lim_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

$\lim_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x) = \lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x})$

$t = \frac{1}{x}$と置くと、$x \to \infty$のとき$t \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x}) = \lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t} = 1$

(5) $\lim_{x \to +0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x})$

$\lim_{x \to +0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to +0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)}$

ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to +0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)} = \lim_{x \to +0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{\log(1+x) + \frac{x}{1+x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{x}{1+x}}{\log(1+x) + \frac{x}{1+x}} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{(1+x) \log(1+x) + x}$

ロピタルの定理を再度適用します。

$\lim_{x \to +0} \frac{x}{(1+x) \log(1+x) + x} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{\log(1+x) + 1 + \frac{x}{1+x} + 1} = \frac{1}{0+1+0+1} = \frac{1}{2}$

(6) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (2x \tan x - \frac{\pi}{\cos x})$

$x = \frac{\pi}{2} + h$とおくと、$x \to \frac{\pi}{2} + 0$のとき$h \to +0$となるので、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} (2x \tan x - \frac{\pi}{\cos x}) = \lim_{h \to +0} [2(\frac{\pi}{2} + h) \tan(\frac{\pi}{2} + h) - \frac{\pi}{\cos(\frac{\pi}{2} + h)}] = \lim_{h \to +0} [(\pi + 2h) (-\cot h) - \frac{\pi}{-\sin h}] = \lim_{h \to +0} [-\pi \cot h - 2h \cot h + \frac{\pi}{\sin h}] = \lim_{h \to +0} [-\pi \frac{\cos h}{\sin h} - 2h \frac{\cos h}{\sin h} + \frac{\pi}{\sin h}] = \lim_{h \to +0} \frac{-\pi \cos h - 2h \cos h + \pi}{\sin h} = \lim_{h \to +0} \frac{\pi(1 - \cos h) - 2h \cos h}{\sin h} = \lim_{h \to +0} [\pi \frac{1-\cos h}{\sin h} - 2h \frac{\cos h}{\sin h}]$

ここで$\lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{\sin h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{\cos h} = 0$

$\lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin h} = 1$

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h}{\sin h} = \infty$

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{h \to +0} \frac{\pi(1 - \cos h) - 2h \cos h}{\sin h} = \lim_{h \to +0} \frac{\pi \sin h - 2\cos h + 2h\sin h}{\cos h} = \frac{0-2+0}{1} = -2$

(7) $\lim_{x \to +0} (-\log x)^x$

$y = (-\log x)^x$とおくと、$\log y = x \log(-\log x)$

$\lim_{x \to +0} x \log(-\log x) = \lim_{x \to +0} \frac{\log(-\log x)}{\frac{1}{x}}$

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to +0} \frac{\log(-\log x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{-\log x} \cdot (-\frac{1}{x})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{\log x} = 0$

$\lim_{x \to +0} \log y = 0$

$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) -1/2

(2) 0

(3) 0

(4) 1

(5) 1/2

(6) -2

(7) 1