与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $\cos(4x)$ (2) $x \sin x$ (3) $\sin x \cos x$ (4) $\cos(\sin x)$ (5) $\frac{1}{\sin x}$ (6) $\frac{1}{\tan x}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $\cos(4x)$

(2) $x \sin x$

(3) $\sin x \cos x$

(4) $\cos(\sin x)$

(5) $\frac{1}{\sin x}$

(6) $\frac{1}{\tan x}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos(4x)$

合成関数の微分公式を用いる。

$\frac{d}{dx} \cos(4x) = -\sin(4x) \cdot \frac{d}{dx} (4x) = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)$

(2) $x \sin x$

積の微分公式を用いる。

$\frac{d}{dx} (x \sin x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$

(3) $\sin x \cos x$

積の微分公式を用いる。

$\frac{d}{dx} (\sin x \cos x) = \frac{d}{dx}(\sin x) \cdot \cos x + \sin x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$

(4) $\cos(\sin x)$

合成関数の微分公式を用いる。

$\frac{d}{dx} \cos(\sin x) = -\sin(\sin x) \cdot \frac{d}{dx} (\sin x) = -\sin(\sin x) \cdot \cos x = -\cos x \sin(\sin x)$

(5) $\frac{1}{\sin x} = \csc x$

$\frac{d}{dx} (\csc x) = -\csc x \cot x = -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

(6) $\frac{1}{\tan x} = \cot x$

$\frac{d}{dx} (\cot x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

(1) $-4\sin(4x)$

(2) $\sin x + x \cos x$

(3) $\cos(2x)$

(4) $-\cos x \sin(\sin x)$

(5) $-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

(6) $-\frac{1}{\sin^2 x}$