与えられた問題は2つあります。 (ii) $f(x) = \log(1+x)$ の $x=0$ における $n$ 次のテイラー展開を剰余項も含めて求めよ。 (12) $\cos x$ の有限マクローリン展開とラグランジュの剰余項 $R_{2n+1}(x)$ を確認せよ。

1. 問題の内容

与えられた問題は2つあります。

(ii) $f(x) = \log(1+x)$ の $x=0$ における $n$ 次のテイラー展開を剰余項も含めて求めよ。

(12) $\cos x$ の有限マクローリン展開とラグランジュの剰余項 $R_{2n+1}(x)$ を確認せよ。

2. 解き方の手順

(ii) $f(x) = \log(1+x)$ の $x=0$ における $n$ 次のテイラー展開を求める。

まず、$f(x)$ の導関数を計算する。

$f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$

一般に、$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$ （$n \ge 1$）

$x=0$ での値を計算する。

$f(0) = \log(1) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = -1$

$f'''(0) = 2$

$f^{(4)}(0) = -6$

一般に、$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1} (n-1)!$ （$n \ge 1$）

テイラー展開は次のようになる。

$f(x) = f(0) + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + R_n(x)$

$f(x) = 0 + \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1} (k-1)!}{k!} x^k + R_n(x)$

$f(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k + R_n(x)$

ラグランジュの剰余項は次のようになる。

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1} = \frac{(-1)^n n!}{(1+\theta x)^{n+1} (n+1)!} x^{n+1} = \frac{(-1)^n}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}} x^{n+1}$ ($0 < \theta < 1$)

(12) $\cos x$ の有限マクローリン展開とラグランジュの剰余項 $R_{2n+1}(x)$ を確認する。

$\cos x$ のマクローリン展開は以下の通り。

$\cos x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} + R_{2n+1}(x)$

$\cos x$ の導関数を計算する。

$(\cos x)' = -\sin x$

$(\cos x)'' = -\cos x$

$(\cos x)''' = \sin x$

$(\cos x)^{(4)} = \cos x$

以下繰り返す。

一般的に、

$(\cos x)^{(2n+1)} = (-1)^{n+1} \sin x$

$(\cos x)^{(2n+2)} = (-1)^{n+1} \cos x$

ラグランジュの剰余項は次のようになる。

$R_{2n+1}(x) = \frac{f^{(2n+2)}(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2} = \frac{(-1)^{n+1} \cos(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$ ($0 < \theta < 1$)

3. 最終的な答え

(ii) $f(x) = \log(1+x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k + \frac{(-1)^n}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}} x^{n+1}$

(12) $\cos x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} + \frac{(-1)^{n+1} \cos(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$