与えられた数列の和を計算する問題です。数列の一般項は $\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$ であり、$k$ が1から $n$ まで変化するときの総和を求めます。すなわち、 $$ \sum_{k=1}^n (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}) $$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。数列の一般項は $\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$ であり、$k$ が1から $n$ まで変化するときの総和を求めます。すなわち、

$$\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2})$$

を計算します。

2. 解き方の手順

この和は、隣接する項が打ち消しあう「望遠鏡和（テレスコーピング和）」の形になっています。具体的に書き下してみると、

\begin{align*}

\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}) &= (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + \dots \\

&\quad + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}) + (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+2})

\end{align*}

となります。

このとき、$-\sqrt{3}$ は打ち消されず残り、$\sqrt{n+3}$も打ち消されず残ります。したがって、和は

$$\sqrt{n+3} + \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{4} -(\sqrt{3} + \sqrt{4} + \dots + \sqrt{n+2})$$

最初の項から順番に打ち消しあうことを考えると、最終的に残るのは $-\sqrt{3}$ と $\sqrt{n+3}$ の項だけです。つまり、

$$\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}) = \sqrt{n+3} - \sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$$\sqrt{n+3} - \sqrt{3}$$

となります。