3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=2$ で $x$ 軸に接し、原点における接線の方程式が $y = -2x$ であるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=2$ で $x$ 軸に接し、原点における接線の方程式が $y = -2x$ であるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ で $x$ 軸に接するので、$y(2) = 0$ かつ $y'(2) = 0$ が成り立つ。

(2) 原点における接線が $y=-2x$ なので、$y(0)=0$ かつ $y'(0) = -2$ が成り立つ。

(3) まず、$y(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d$ なので、$d=0$。

(4) 次に、$y'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ であるから、$y'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = c$。したがって、$c = -2$。

(5) $y(2) = 8a + 4b + 2c + d = 0$ より、$8a + 4b + 2(-2) + 0 = 0$。つまり、$8a + 4b = 4$。よって、$2a + b = 1$。

(6) $y'(2) = 12a + 4b + c = 0$ より、$12a + 4b - 2 = 0$。つまり、$12a + 4b = 2$。よって、$6a + 2b = 1$。

(7) 連立方程式

$2a + b = 1$

$6a + 2b = 1$

を解く。

$b = 1 - 2a$ を $6a + 2b = 1$ に代入すると、

$6a + 2(1 - 2a) = 1$

$6a + 2 - 4a = 1$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

(8) $b = 1 - 2a = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$

(9) したがって、$a = -\frac{1}{2}, b = 2, c = -2, d = 0$。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = -2$

$d = 0$