次の数列の極限を求めます。 $\lim_{n\to\infty} (\frac{3}{5})^n$, $\lim_{n\to\infty} 1^n$, $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{2})^n$, $\lim_{n\to\infty} (-\frac{3}{2})^n$, $\lim_{n\to\infty} (-1)^n$, $\lim_{n\to\infty} (\frac{e}{3})^n$

1. 問題の内容

次の数列の極限を求めます。

$\lim_{n\to\infty} (\frac{3}{5})^n$, $\lim_{n\to\infty} 1^n$, $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{2})^n$, $\lim_{n\to\infty} (-\frac{3}{2})^n$, $\lim_{n\to\infty} (-1)^n$, $\lim_{n\to\infty} (\frac{e}{3})^n$

2. 解き方の手順

各数列の極限を個別に計算します。

(1) $\lim_{n\to\infty} (\frac{3}{5})^n$

$\frac{3}{5}$ は 1 より小さい正の数なので、$n$ が大きくなるにつれて $(\frac{3}{5})^n$ は 0 に近づきます。

(2) $\lim_{n\to\infty} 1^n$

$1^n$ は常に 1 なので、極限は 1 です。

(3) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{2})^n$

$\sqrt{2}$ は 1 より大きいので、$n$ が大きくなるにつれて $(\sqrt{2})^n$ は無限大に発散します。

(4) $\lim_{n\to\infty} (-\frac{3}{2})^n$

$-\frac{3}{2}$ の絶対値は 1 より大きいので、$n$ が大きくなるにつれて $(-\frac{3}{2})^n$ は振動し、発散します。正と負の無限大を交互に繰り返します。

(5) $\lim_{n\to\infty} (-1)^n$

$(-1)^n$ は $n$ が偶数のとき 1 で、奇数のとき -1 なので、振動し、極限は存在しません。

(6) $\lim_{n\to\infty} (\frac{e}{3})^n$

$e \approx 2.718$ なので、$\frac{e}{3} \approx \frac{2.718}{3} < 1$ です。したがって、$n$ が大きくなるにつれて $(\frac{e}{3})^n$ は 0 に近づきます。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n\to\infty} (\frac{3}{5})^n = 0$

(2) $\lim_{n\to\infty} 1^n = 1$

(3) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{2})^n = \infty$ (発散)

(4) $\lim_{n\to\infty} (-\frac{3}{2})^n$ は振動し、発散します。

(5) $\lim_{n\to\infty} (-1)^n$ は振動し、極限は存在しません。

(6) $\lim_{n\to\infty} (\frac{e}{3})^n = 0$