関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を用います。

まず、$y = u \cdot v$ とおくと、$y' = u'v + uv'$ となります。

ここで、$u = x^2 + 1$、$v = 5^{x^3}$ とします。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

$v' = \frac{d}{dx}(5^{x^3})$ を計算します。

$w = x^3$ とおくと、$v = 5^w$ となります。

$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$

$\frac{dv}{dw} = \frac{d}{dw}(5^w) = 5^w \log 5 = 5^{x^3} \log 5$

$\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

よって、$v' = 5^{x^3} \log 5 \cdot 3x^2 = 3x^2 5^{x^3} \log 5$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1) \cdot 3x^2 5^{x^3} \log 5$

$y' = 5^{x^3} (2x + 3x^2 (x^2 + 1) \log 5)$

$y' = x 5^{x^3} (2 + 3x (x^2 + 1) \log 5)$

3. 最終的な答え

$y' = x 5^{x^3} \{2 + 3x(x^2 + 1) \log 5\}$

選択肢の2が正しいです。