関数 $y = (\log(x^2 + 2x))^3$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (\log(x^2 + 2x))^3$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、合成関数の微分（連鎖律）を用いる必要があります。

まず、外側の関数を $u^3$ と見なし、内側の関数を $u = \log(x^2 + 2x)$ とします。

さらに、内側の関数 $\log(x^2 + 2x)$ を $v = x^2 + 2x$ と見なします。

連鎖律により、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ となります。

各微分を計算します。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} u^3 = 3u^2$

$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv} \log(v) = \frac{1}{v}$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2 + 2x) = 2x + 2 = 2(x+1)$

これらの結果を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{1}{v} \cdot 2(x+1) = 3 (\log(x^2+2x))^2 \cdot \frac{1}{x^2+2x} \cdot 2(x+1)$

整理すると、

$\frac{dy}{dx} = 6 (\log(x^2+2x))^2 \cdot \frac{x+1}{x^2+2x}$

3. 最終的な答え

$6\{\log(x^2 + 2x)\}^2 \frac{x+1}{x^2+2x}$

選択肢4が正しいです。