(1) 曲線 $y = \tan x$ 上の点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ における接線と法線の方程式を求める。 (2) 曲線 $y = 2\sqrt{x}$ に点 $(-2, 0)$ から引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = \tan x$ 上の点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ における接線と法線の方程式を求める。

(2) 曲線 $y = 2\sqrt{x}$ に点 $(-2, 0)$ から引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = \tan x$ を微分して、導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$

点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ における接線の傾きは、

$\frac{dy}{dx} |_{x = \frac{\pi}{4}} = \sec^2 (\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2})^2 = 2$

接線の方程式は、$y - 1 = 2(x - \frac{\pi}{4})$

$y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1$

法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を反転させたものであるから、$-\frac{1}{2}$

法線の方程式は、$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$

(2)

まず、$y = 2\sqrt{x}$ を微分して、導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

接点の座標を $(t, 2\sqrt{t})$ とおく。

この点における接線の傾きは $\frac{1}{\sqrt{t}}$ である。

接線の方程式は、$y - 2\sqrt{t} = \frac{1}{\sqrt{t}}(x - t)$

$y = \frac{1}{\sqrt{t}}x - \sqrt{t} + 2\sqrt{t}$

$y = \frac{1}{\sqrt{t}}x + \sqrt{t}$

この接線が $(-2, 0)$ を通るので、

$0 = \frac{1}{\sqrt{t}}(-2) + \sqrt{t}$

$0 = -\frac{2}{\sqrt{t}} + \sqrt{t}$

$\frac{2}{\sqrt{t}} = \sqrt{t}$

$2 = t$

したがって、接点の座標は $(2, 2\sqrt{2})$ であり、接線の傾きは $\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

接線の方程式は、$y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1)

接線の方程式: $y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1$

法線の方程式: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$

(2)

接線の方程式: $y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \sqrt{2}$

または $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{2}$