加法定理を用いて、以下の三角関数の等式を証明する。 (1) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ (2) $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ (3) $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (4) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

1. 問題の内容

加法定理を用いて、以下の三角関数の等式を証明する。

(1) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

(2) $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

(3) $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

(4) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2x = \cos(x+x)$

$\cos(x+y)$ の加法定理は $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ である。

したがって、

$\cos 2x = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x$

(証明終わり)

(2) $\sin 2x = \sin(x+x)$

$\sin(x+y)$ の加法定理は $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ である。

したがって、

$\sin 2x = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2 \sin x \cos x$

(証明終わり)

(3) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ である (1) より。

また、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ であるから、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ である。

$\cos 2x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2 \cos^2 x - 1$

$\cos 2x + 1 = 2 \cos^2 x$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

(証明終わり)

(4) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ である (1) より。

また、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ であるから、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ である。

$\cos 2x = (1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x$

$\cos 2x - 1 = - 2 \sin^2 x$

$1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

(証明終わり)

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

(2) $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

(3) $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

(4) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$