与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 1$ と (2) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 2a_n - 4$ の2つの数列について、それぞれ極限を求めます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 1$ と (2) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 2a_n - 4$ の2つの数列について、それぞれ極限を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 1$ の場合：

数列 $\{a_n\}$ の極限が存在すると仮定し、$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ と置きます。このとき、$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ も成り立ちます。漸化式の両辺の極限を取ると、

$\alpha = \frac{1}{2} \alpha + 1$

この方程式を解くと、

$\frac{1}{2} \alpha = 1$

$\alpha = 2$

次に、数列 $\{a_n - 2\}$ が等比数列であることを示します。漸化式を $a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2} (a_n - 2)$ と変形できます。従って、$a_n - 2 = (a_1 - 2) (\frac{1}{2})^{n-1} = (1 - 2) (\frac{1}{2})^{n-1} = - (\frac{1}{2})^{n-1}$となります。よって、$a_n = 2 - (\frac{1}{2})^{n-1}$ となります。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (2 - (\frac{1}{2})^{n-1}) = 2 - 0 = 2$

(2) $a_{n+1} = 2a_n - 4$ の場合：

数列 $\{a_n\}$ の極限が存在すると仮定し、$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ と置きます。このとき、$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ も成り立ちます。漸化式の両辺の極限を取ると、

$\alpha = 2 \alpha - 4$

この方程式を解くと、

$\alpha = 4$

次に、数列 $\{a_n - 4\}$ が等比数列であることを示します。漸化式を $a_{n+1} - 4 = 2(a_n - 4)$ と変形できます。従って、$a_n - 4 = (a_1 - 4) (2)^{n-1} = (5 - 4) (2)^{n-1} = (2)^{n-1}$となります。よって、$a_n = 4 + 2^{n-1}$ となります。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (4 + 2^{n-1}) = \infty$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ （数列は発散する）