極限 $\lim_{x\to 1} \frac{a\sqrt{x+1} - b}{x-1} = \sqrt{2}$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

## 問題8

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x\to 1} \frac{a\sqrt{x+1} - b}{x-1} = \sqrt{2}$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母 $x-1$ が $0$ に近づくので、極限が存在するためには、分子も $0$ に近づく必要がある。つまり、

$a\sqrt{1+1} - b = 0$

$a\sqrt{2} - b = 0$

$b = a\sqrt{2}$

次に、この関係式を元の式に代入して、極限を計算する。

$\lim_{x\to 1} \frac{a\sqrt{x+1} - a\sqrt{2}}{x-1}$

$a$ でくくり出す。

$\lim_{x\to 1} \frac{a(\sqrt{x+1} - \sqrt{2})}{x-1}$

分子の有理化を行う。

$\lim_{x\to 1} \frac{a(\sqrt{x+1} - \sqrt{2})}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{2}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{2}}$

$\lim_{x\to 1} \frac{a(x+1 - 2)}{(x-1)(\sqrt{x+1} + \sqrt{2})}$

$\lim_{x\to 1} \frac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x+1} + \sqrt{2})}$

$\lim_{x\to 1} \frac{a}{\sqrt{x+1} + \sqrt{2}}$

$x \to 1$ の極限を取る。

$\frac{a}{\sqrt{1+1} + \sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$

これが $\sqrt{2}$ に等しいので、

$\frac{a}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$a = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$

$b = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = 4\sqrt{2}$