次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{3} \frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{3} \frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$u = 9 - x^2$ と置換します。

すると、$du = -2x dx$ となり、$x dx = -\frac{1}{2} du$ が得られます。

$x^2 = 9 - u$ であり、$x^3 dx = x^2 \cdot x dx = (9-u)(-\frac{1}{2} du) = -\frac{1}{2}(9-u) du$ となります。

積分範囲も変更します。

$x = 0$ のとき、$u = 9 - 0^2 = 9$ です。

$x = 3$ のとき、$u = 9 - 3^2 = 0$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{9}^{0} \frac{-\frac{1}{2}(9-u)}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{9} \frac{9-u}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{9} (9u^{-1/2} - u^{1/2}) du$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{9} (9u^{-1/2} - u^{1/2}) du = \frac{1}{2} [9 \cdot 2u^{1/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}]_{0}^{9} = \frac{1}{2} [18u^{1/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}]_{0}^{9}$

$\frac{1}{2} [18\sqrt{u} - \frac{2}{3}u\sqrt{u}]_{0}^{9} = \frac{1}{2} [(18\sqrt{9} - \frac{2}{3}(9)\sqrt{9}) - (18\sqrt{0} - \frac{2}{3}(0)\sqrt{0})] = \frac{1}{2} [18(3) - \frac{2}{3}(9)(3) - 0] = \frac{1}{2}[54 - 18] = \frac{1}{2}(36) = 18$

3. 最終的な答え

18