与えられた級数 $S$ の値を求めます。 $S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n}$

1. 問題の内容

与えられた級数 $S$ の値を求めます。

$S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n}$

2. 解き方の手順

まず、分母にある和 $1+2+3+\dots+k$ を計算します。これは等差数列の和であり、$\frac{k(k+1)}{2}$ と表されます。

したがって、級数 $S$ は以下のように書き換えられます。

$S = 1 + \frac{1}{\frac{2(3)}{2}} + \frac{1}{\frac{3(4)}{2}} + \dots + \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$

これは、

$S = 1 + \frac{2}{2(3)} + \frac{2}{3(4)} + \dots + \frac{2}{n(n+1)}$

となります。

$S = 1 + 2\left(\frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}\right)$

ここで、$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ であることを利用して、級数の中身を分解します。

$\frac{1}{2\cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3\cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

$\dots$

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

したがって、

$\frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

この級数は、隣り合う項が打ち消し合うtelescoping sum（望遠鏡和）となり、

$\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}$

となります。

したがって、級数 $S$ は、

$S = 1 + 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}\right)$

$S = 1 + 1 - \frac{2}{n+1}$

$S = 2 - \frac{2}{n+1}$

$S = \frac{2(n+1) - 2}{n+1} = \frac{2n+2-2}{n+1}$

$S = \frac{2n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n}{n+1}$