関数 $y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ を微分して、$y'$を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ を微分して、$y'$を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ を微分するには、商の微分法または合成関数の微分法を使用します。ここでは、合成関数の微分法を使用します。

まず、$u = e^x + e^{-x}$ とおくと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ となります。

$y$を$u$で微分すると、

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$u$を$x$で微分すると、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x + e^{-x}) = e^x - e^{-x}$

連鎖律により、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (e^x - e^{-x}) = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$

選択肢の中から正しいものを選ぶと、2番の選択肢が正しいです。