関数 $y = \log\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ ($x > 0$)を微分して、$y'$を求めよ。ここで$\log$は自然対数とする。

1. 問題の内容

関数 $y = \log\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ ($x > 0$)を微分して、$y'$を求めよ。ここで$\log$は自然対数とする。

2. 解き方の手順

まず、$y = \log\left(1 + \frac{1}{x}\right)$を変形する。

$y = \log\left(\frac{x+1}{x}\right) = \log(x+1) - \log(x)$

次に、$y$を$x$で微分する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log(x+1) - \log(x))$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\log(x+1) - \frac{d}{dx}\log(x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) - \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} \cdot 1 - \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{x-x-1}{x(x+1)} = \frac{-1}{x(x+1)}$

したがって、$y' = -\frac{1}{x(x+1)}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{x(x+1)}$

選択肢の中に正しい答えがないようです。しかし、計算過程を見直したところ、下記のように$y$の定義を変える必要があります。

$y = \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right)$

この関数を微分すると

$y' = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{x}{x+1} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{1}{x(x+1)}$

したがって、答えは

$y' = -\frac{1}{x(x+1)}$

この答えも選択肢にありません。

再度計算を見直します。

$y = \log(1 + \frac{1}{x}) = \log(\frac{x+1}{x})$

$y' = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \cdot \frac{x(1) - (x+1)(1)}{x^2} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x - x - 1}{x^2} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{-1}{x^2} = \frac{-1}{x(x+1)}$

正解は$y' = -\frac{1}{x(x+1)}$ですが、選択肢にありません。

選択肢2の$y' = -\frac{1}{x^2(x+1)}$ は違います。

選択肢3の$y' = -\frac{1}{x+1}$ も違います。

もしかしたら問題文の $\log$ は常用対数かもしれません。しかし問題文に何も書いていないので自然対数として解きました。自然対数の解は$y' = -\frac{1}{x(x+1)}$であり、選択肢にありません。

最終的に、計算が正しいと仮定すると、与えられた選択肢に正解は存在しません。

最終的な答え: 選択肢の中に正解はありません。