関数 $y = \{ \log(x^2 + 2x) \}^3$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \{ \log(x^2 + 2x) \}^3$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、合成関数の微分（チェインルール）を使います。

まず、$u = \log(x^2 + 2x)$ とおくと、$y = u^3$ となります。

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$y = u^3$ なので、

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3 \{ \log(x^2 + 2x) \}^2$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = \log(x^2 + 2x)$ なので、ここでさらに合成関数の微分を使います。

$v = x^2 + 2x$ とおくと、$u = \log(v)$ となります。

すると、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ となります。

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v} = \frac{1}{x^2 + 2x}$

$\frac{dv}{dx} = 2x + 2$

よって、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2 + 2x} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3 \{ \log(x^2 + 2x) \}^2 \cdot \frac{2x + 2}{x^2 + 2x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+2)\{\log(x^2+2x)\}^2}{x^2+2x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(x+1)\{\log(x^2+2x)\}^2}{x(x+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(x+1)\{\log(x^2+2x)\}^2}{x(x+2)}$