$(\frac{1}{2})^{20}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$とします。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{2})^{20}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$とします。

2. 解き方の手順

まず、$x = (\frac{1}{2})^{20}$とおきます。

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}x = \log_{10}(\frac{1}{2})^{20}$

$\log_{10}x = 20 \log_{10}(\frac{1}{2})$

$\log_{10}x = 20 (\log_{10}1 - \log_{10}2)$

$\log_{10}x = 20 (0 - \log_{10}2)$

$\log_{10}x = -20 \log_{10}2$

$\log_{10}2 = 0.3010$を代入すると、

$\log_{10}x = -20 \times 0.3010$

$\log_{10}x = -6.020$

ここで、$\log_{10}x = -6.020 = -7 + 0.980$と変形できます。

$x$が小数第$n$位に初めて0でない数字が現れるとき、$\log_{10}x$は$-n$に近い整数になります。

$-7 < -6.020 < -6$なので、小数第7位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

小数第7位