## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

* **パート1:** 第 $n$ 項が与えられた式で表される数列の極限を求めます。(問題番号1の(4))

数列は $2\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}$ です。

* **パート2:** 与えられた極限を求めます。(問題番号2の(3))

極限は $\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$ です。

##

2. 解き方の手順

**パート1：数列の極限**

数列 $2\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}$ の極限を求めます。

1. $\left|-\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4} < 1$ より、$\lim_{n\to\infty} \left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1} = 0$ です。

2. したがって、

$\lim_{n\to\infty} 2\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1} = 2 \cdot 0 = 0$

**パート2：極限**

$\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$ を求めます。

1. $x=4$ を代入すると、$\frac{\sqrt{4+5}-3}{4-4} = \frac{3-3}{0} = \frac{0}{0}$ となり、不定形です。

2. 分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4} = \frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} = \frac{(x+5)-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} = \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}$

3. $x\neq 4$ において、$x-4$ を約分します。

$\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} = \frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$

4. 極限を計算します。

$\lim_{x\to 4} \frac{1}{\sqrt{x+5}+3} = \frac{1}{\sqrt{4+5}+3} = \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$

##

3. 最終的な答え

**パート1:** 数列 $2\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}$ の極限は 0 です。

**パート2:** $\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4} = \frac{1}{6}$ です。