$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{3}$ を満たす $\theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{3}$ を満たす $\theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、左辺を合成します。$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $R\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$ です。

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を考えると、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。

よって、$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ となります。

元の式は、 $2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$ となります。

両辺を2で割ると、 $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$\theta + \frac{\pi}{6} = t$ とおくと、$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ なので、$\frac{\pi}{6} \le t < \frac{13\pi}{6}$ です。

$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $t$ の値は、$t = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$ です。

$\frac{\pi}{6} \le t < \frac{13\pi}{6}$ より、 $t = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$ です。

$\theta = t - \frac{\pi}{6}$ なので、

$\theta = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi - \pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

$\theta = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi - \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{14\pi - \pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$

しかし、 $\theta = \frac{13\pi}{6}$ は $0 \le \theta < 2\pi$ を満たさないので、 $\theta = \frac{\pi}{6}$ と $\theta = \frac{\pi}{2}$ のみです。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$