次の方程式の異なる実数解の個数を求める問題です。 (1) $x + 2 = e^x$ (2) $x - \cos x = 0$

1. 問題の内容

次の方程式の異なる実数解の個数を求める問題です。

(1) $x + 2 = e^x$

(2) $x - \cos x = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$y = x + 2$ と $y = e^x$ のグラフを描き、交点の個数を調べます。

$f(x) = e^x - x - 2$ とおくと、$f'(x) = e^x - 1$ です。

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のときです。

$x < 0$ のとき $f'(x) < 0$ であり、$x > 0$ のとき $f'(x) > 0$ です。

したがって、$f(x)$ は $x = 0$ で最小値 $f(0) = e^0 - 0 - 2 = 1 - 2 = -1$ をとります。

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$ であり、$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ です。

また、$f(0) = -1 < 0$ であるので、$f(x) = 0$ となる $x$ が2つ存在します。

したがって、方程式 $x + 2 = e^x$ の実数解の個数は2個です。

(2)

$y = x$ と $y = \cos x$ のグラフを描き、交点の個数を調べます。

$f(x) = x - \cos x$ とおくと、$f'(x) = 1 + \sin x$ です。

$-1 \le \sin x \le 1$ より、$f'(x) \ge 0$ です。

$f'(x) = 0$ となるのは $\sin x = -1$ のとき、すなわち $x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数) のときです。

$f(x)$ は単調増加関数です。

$f(0) = 0 - \cos 0 = -1 < 0$ であり、

$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} > 0$ です。

したがって、中間値の定理より、$f(x) = 0$ となる $x$ が $(0, \frac{\pi}{2})$ の間に1つ存在します。

$f(x)$ が単調増加関数であることから、実数解は1つだけです。

したがって、方程式 $x - \cos x = 0$ の実数解の個数は1個です。

3. 最終的な答え

(1) 2個

(2) 1個