与えられた3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to -\infty} \frac{3x^2+4x-1}{2x^2-3}$ (2) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x)$ (3) $\lim_{n\to \infty} \frac{\cos(n\pi)}{n}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to -\infty} \frac{3x^2+4x-1}{2x^2-3}$

(2) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x)$

(3) $\lim_{n\to \infty} \frac{\cos(n\pi)}{n}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to -\infty} \frac{3x^2+4x-1}{2x^2-3}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x\to -\infty} \frac{3 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}}$

$x \to -\infty$のとき、$\frac{4}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$、$\frac{3}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x\to -\infty} \frac{3 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}} = \frac{3+0-0}{2-0} = \frac{3}{2}$

(2) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x)$

有理化を行います。

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x) = \lim_{x\to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-x}-x)(\sqrt{x^2-x}+x)}{\sqrt{x^2-x}+x}$

$= \lim_{x\to \infty} \frac{(x^2-x) - x^2}{\sqrt{x^2-x}+x} = \lim_{x\to \infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}$

分子と分母を$x$で割ります。

$\lim_{x\to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x\to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$

(3) $\lim_{n\to \infty} \frac{\cos(n\pi)}{n}$

$\cos(n\pi)$の値は$n$が偶数のとき1、$n$が奇数のとき-1となります。つまり$-1 \le \cos(n\pi) \le 1$です。

したがって、$-\frac{1}{n} \le \frac{\cos(n\pi)}{n} \le \frac{1}{n}$です。

$n \to \infty$のとき、$-\frac{1}{n} \to 0$、$\frac{1}{n} \to 0$なので、挟みうちの原理より、

$\lim_{n\to \infty} \frac{\cos(n\pi)}{n} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) $0$