* 第1問 (1): 数列 $\frac{4n}{\sqrt{n^2+2n} + n}$ の極限を求める。 * 第1問 (3): 数列 $\frac{2n^2 - 3n}{n^2 + 1}$ の極限を求める。 * 第2問 (3): 極限 $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4}$ を求める。 * 第3問 (1): 極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 4x - 1}{2x^2 - 3}$ を求める。 * 第4問 (1): 無限級数 $\frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \frac{1}{10\cdot13} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題のうち、いくつかを選んで解いていきます。まず、第1問 (1), (3), 第2問 (3), 第3問 (1), 第4問 (1)を解きます。

1. 問題の内容

* 第1問 (1): 数列 $\frac{4n}{\sqrt{n^2+2n} + n}$ の極限を求める。

* 第1問 (3): 数列 $\frac{2n^2 - 3n}{n^2 + 1}$ の極限を求める。

* 第2問 (3): 極限 $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4}$ を求める。

* 第3問 (1): 極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 4x - 1}{2x^2 - 3}$ を求める。

* 第4問 (1): 無限級数 $\frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \frac{1}{10\cdot13} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める。

2. 解き方の手順

* 第1問 (1):

分母と分子を $n$ で割る。

$\frac{4n}{\sqrt{n^2+2n} + n} = \frac{4}{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$ なので、$\sqrt{1+\frac{2}{n}} \to 1$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1} = \frac{4}{1+1} = 2$

* 第1問 (3):

分母と分子を $n^2$ で割る。

$\frac{2n^2 - 3n}{n^2 + 1} = \frac{2 - \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$ かつ $\frac{1}{n^2} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{2}{1} = 2$

* 第2問 (3):

$\frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4}$ の分子を有理化する。

$\frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4} = \frac{(\sqrt{x+5} - 3)(\sqrt{x+5} + 3)}{(x-4)(\sqrt{x+5} + 3)} = \frac{(x+5) - 9}{(x-4)(\sqrt{x+5} + 3)} = \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5} + 3)}$

$x \neq 4$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{x+5} + 3}$

$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x+5} + 3} = \frac{1}{\sqrt{4+5} + 3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$

* 第3問 (1):

分母と分子を $x^2$ で割る。

$\frac{3x^2 + 4x - 1}{2x^2 - 3} = \frac{3 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x} \to 0$ かつ $\frac{1}{x^2} \to 0$ かつ $\frac{3}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}} = \frac{3}{2}$

* 第4問 (1):

この級数の第 $n$ 項は $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ と表せる。部分分数分解を行う。

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right)$

したがって、第 $n$ 部分和 $S_n$ は

$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right) \right]$

$S_n = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{3n+1}\right)$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{3n+1}\right) = \frac{1}{3}(1 - 0) = \frac{1}{3}$

よって、この無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

* 第1問 (1): 2

* 第1問 (3): 2

* 第2問 (3): $\frac{1}{6}$

* 第3問 (1): $\frac{3}{2}$

* 第4問 (1): 収束し、和は $\frac{1}{3}$