関数 $y = \frac{3x^2 - 2x + 5}{\sqrt{x}}$ の導関数 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3x^2 - 2x + 5}{\sqrt{x}}$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}$ を $x^{1/2}$ と書き換えて、関数を次のように書き直します。

$y = \frac{3x^2 - 2x + 5}{x^{1/2}}$

次に、各項を $x^{1/2}$ で割ることで、関数を次のように変形します。

$y = \frac{3x^2}{x^{1/2}} - \frac{2x}{x^{1/2}} + \frac{5}{x^{1/2}}$

$y = 3x^{2 - 1/2} - 2x^{1 - 1/2} + 5x^{-1/2}$

$y = 3x^{3/2} - 2x^{1/2} + 5x^{-1/2}$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(3x^{3/2}) = 3 \cdot \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} = \frac{9}{2} x^{1/2}$

$\frac{d}{dx}(-2x^{1/2}) = -2 \cdot \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = -x^{-1/2}$

$\frac{d}{dx}(5x^{-1/2}) = 5 \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-1/2 - 1} = -\frac{5}{2} x^{-3/2}$

したがって、導関数 $y'$ は次のようになります。

$y' = \frac{9}{2}x^{1/2} - x^{-1/2} - \frac{5}{2}x^{-3/2}$

$y' = \frac{9}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{5}{2x\sqrt{x}}$

$y' = \frac{9x^2 - 2x - 5}{2x\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{9x^2 - 2x - 5}{2x\sqrt{x}}$