問題は、与えられた無限等比級数について、その収束・発散を調べ、収束する場合にはその和を求めるというものです。具体的には、(ア) $\sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \dots$ と (イ) $4 - 2\sqrt{3} + 3 - \dots$ の2つの級数について、それぞれ収束するか発散するかを判定し、収束するならばその和を計算します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた無限等比級数について、その収束・発散を調べ、収束する場合にはその和を求めるというものです。具体的には、(ア) $\sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \dots$ と (イ) $4 - 2\sqrt{3} + 3 - \dots$ の2つの級数について、それぞれ収束するか発散するかを判定し、収束するならばその和を計算します。

2. 解き方の手順

等比級数の収束・発散を調べるには、公比 $r$ を計算し、それが $|r| < 1$ を満たすかどうかを調べます。$|r| < 1$ であれば収束し、和は $\frac{a}{1-r}$ で計算できます。ここで $a$ は初項です。

(ア) の場合：

初項 $a = \sqrt{3}$ です。

公比 $r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ です。

$|r| = \sqrt{3} > 1$ なので、この等比級数は発散します。

(イ) の場合：

初項 $a = 4$ です。

公比 $r = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$|r| = \left|-\frac{\sqrt{3}}{2}\right| = \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$ なので、この等比級数は収束します。

収束する場合の和は $\frac{a}{1-r} = \frac{4}{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{4}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{2+\sqrt{3}}$ となります。

これを有利化すると $\frac{8(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{8(2-\sqrt{3})}{4-3} = 8(2-\sqrt{3}) = 16 - 8\sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(ア) 発散

(イ) 収束し、和は $16 - 8\sqrt{3}$