関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分した $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分した $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、 $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

まず、$u = e^x - e^{-x}$ と $v = e^x + e^{-x}$ とおきます。

$u' = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}$

$v' = e^x + (-1)e^{-x} = e^x - e^{-x}$

したがって、

$y' = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$y' = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2}$

分子を展開します。

$(e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$

$(e^x - e^{-x})^2 = e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

したがって、分子は

$(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) = e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x} = 4$

よって、

$y' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

選択肢2が正しいです。