関数 $f(x) = x(x-3)(x-4)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $x=0$ から $x=2$ までの平均変化率を求めます。 (2) この平均変化率は、$f(x)$ の $x=c$ ($0 < c < 2$) における微分係数に等しくなるような $c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(x-3)(x-4)$ について、以下の問いに答えます。

(1) $x=0$ から $x=2$ までの平均変化率を求めます。

(2) この平均変化率は、$f(x)$ の $x=c$ ($0 < c < 2$) における微分係数に等しくなるような $c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率の計算

$x=0$ のとき、$f(0) = 0(0-3)(0-4) = 0$

$x=2$ のとき、$f(2) = 2(2-3)(2-4) = 2(-1)(-2) = 4$

平均変化率は、$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$

(2) 微分係数の計算

$f(x) = x(x-3)(x-4) = x(x^2 - 7x + 12) = x^3 - 7x^2 + 12x$

$f'(x) = 3x^2 - 14x + 12$

微分係数が平均変化率に等しいので、$f'(c) = 2$ となる $c$ を求める。

$3c^2 - 14c + 12 = 2$

$3c^2 - 14c + 10 = 0$

解の公式より、$c = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(3)(10)}}{2(3)} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{6} = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{6} = \frac{14 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

$0 < c < 2$ より、$c = \frac{7 - \sqrt{19}}{3} \approx \frac{7 - 4.36}{3} \approx 0.88$

3. 最終的な答え

$x=0$ から $x=2$ までの平均変化率は $2$ である。

$f(x)$ の $x = \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$ ($0 < c < 2$) における微分係数に等しい。