与えられた関数 $y = (x^2 + 1)(x^3 + x)(x^4 - x^2)$ を微分して、$dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x^2 + 1)(x^3 + x)(x^4 - x^2)$ を微分して、$dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法を適用します。3つの関数 $u$, $v$, $w$ の積の微分は、

$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

で与えられます。

ここで、

$u = x^2 + 1$

$v = x^3 + x$

$w = x^4 - x^2$

とおきます。

それぞれの導関数を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

$v' = \frac{d}{dx}(x^3 + x) = 3x^2 + 1$

$w' = \frac{d}{dx}(x^4 - x^2) = 4x^3 - 2x$

積の微分法の公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = (2x)(x^3 + x)(x^4 - x^2) + (x^2 + 1)(3x^2 + 1)(x^4 - x^2) + (x^2 + 1)(x^3 + x)(4x^3 - 2x)$

これを展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = 2x(x^7 - x^5 + x^5 - x^3) + (x^2+1)(3x^6 - 3x^4 + x^4 - x^2) + (x^2+1)(4x^6 - 2x^4 + 4x^4 - 2x^2)$

$\frac{dy}{dx} = 2x^8 - 2x^4 + (x^2+1)(3x^6 - 2x^4 - x^2) + (x^2+1)(4x^6 + 2x^4 - 2x^2)$

$\frac{dy}{dx} = 2x^8 - 2x^4 + (3x^8 - 2x^6 - x^4 + 3x^6 - 2x^4 - x^2) + (4x^8 + 2x^6 - 2x^4 + 4x^6 + 2x^4 - 2x^2)$

$\frac{dy}{dx} = 2x^8 - 2x^4 + 3x^8 + x^6 - 3x^4 - x^2 + 4x^8 + 6x^6 - 2x^2$

$\frac{dy}{dx} = (2 + 3 + 4)x^8 + (1 + 6)x^6 + (-2 - 3)x^4 + (-1 - 2)x^2$

$\frac{dy}{dx} = 9x^8 + 7x^6 - 5x^4 - 3x^2$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 9x^8 + 7x^6 - 5x^4 - 3x^2$