関数 $y = \frac{2x + 1}{x^2 - x + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x + 1}{x^2 - x + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用います。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

ここで、$u = 2x + 1$、$v = x^2 - x + 1$ とすると、

$u' = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2 - x + 1) = 2x - 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2 - x + 1) - (2x + 1)(2x - 1)}{(x^2 - x + 1)^2}$

分子を展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - 2x + 2 - (4x^2 - 2x + 2x - 1)}{(x^2 - x + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - 2x + 2 - 4x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 - 2x + 3}{(x^2 - x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 - 2x + 3}{(x^2 - x + 1)^2}$