関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分する。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{x^4 + 5} = (x^4 + 5)^{-1}$と変形する。

合成関数の微分公式を使う。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = x^4 + 5$とおくと、$y = u^{-1}$である。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 4x^3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 4x^3 = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$