次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\frac{9}{2}} (1 + \frac{2}{3}x)^{\frac{1}{2}} dx$

## 数学の問題を解きます

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{9}{2}} (1 + \frac{2}{3}x)^{\frac{1}{2}} dx$

2. 解き方の手順

積分を計算するために、置換積分を使用します。

$u = 1 + \frac{2}{3}x$ とおくと、$du = \frac{2}{3}dx$ となります。

したがって、$dx = \frac{3}{2}du$ となります。

また、積分の範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$u = 1 + \frac{2}{3}(0) = 1$ となります。

$x = \frac{9}{2}$ のとき、$u = 1 + \frac{2}{3}(\frac{9}{2}) = 1 + 3 = 4$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{2}du = \frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} du$

次に、$u^{\frac{1}{2}}$ の積分を計算します。

$\int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} du = \frac{3}{2} \left[ \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \left[ u^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = 4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$

3. 最終的な答え

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