$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形で表す問題です。ただし、$r > 0$ で、$-\pi < \alpha \le \pi$ とします。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形で表す問題です。ただし、$r > 0$ で、$-\pi < \alpha \le \pi$ とします。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

したがって、

$r\cos\alpha = \sqrt{3}$

$r\sin\alpha = 1$

この2式から $r$ と $\alpha$ を求めます。

2乗して足し合わせると、

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 3 + 1$

$r^2 = 4$

$r > 0$ より、$r = 2$

よって、

$2\cos\alpha = \sqrt{3}$

$2\sin\alpha = 1$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{1}{2}$

$-\pi < \alpha \le \pi$ の範囲で、これらを満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

したがって、

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

3. 最終的な答え

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$