関数 $y = \frac{1}{x^3 + 2x + 1}$ を微分せよ。

解析学微分関数の微分合成関数の微分

2025/6/28

1. 問題の内容

関数

y = \frac{1}{x^3 + 2x + 1}

を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数

y

は、分数の形をしています。

y = \frac{1}{f(x)}

の形なので、この微分は、合成関数の微分公式を用いて解くことができます。

y' = -\frac{f'(x)}{f(x)^2}

ここで、

f(x) = x^3 + 2x + 1

です。

f(x)

を

x

について微分すると、

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x + 1) = 3x^2 + 2

したがって、

y'

は

y' = -\frac{3x^2 + 2}{(x^3 + 2x + 1)^2}

3. 最終的な答え

y' = -\frac{3x^2 + 2}{(x^3 + 2x + 1)^2}

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