関数 $y = (x^3 - 3x^2 + 5)(2x + 1)$ を微分せよ。

解析学微分積の微分多項式
2025/6/28

1. 問題の内容

関数 y=(x33x2+5)(2x+1)y = (x^3 - 3x^2 + 5)(2x + 1) を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使用します。
y=u(x)v(x)y = u(x)v(x) のとき、dydx=u(x)v(x)+u(x)v(x)\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) です。
ここで、
u(x)=x33x2+5u(x) = x^3 - 3x^2 + 5
v(x)=2x+1v(x) = 2x + 1
とすると、
u(x)=3x26xu'(x) = 3x^2 - 6x
v(x)=2v'(x) = 2
となります。
したがって、
dydx=(3x26x)(2x+1)+(x33x2+5)(2)\frac{dy}{dx} = (3x^2 - 6x)(2x + 1) + (x^3 - 3x^2 + 5)(2)
=6x3+3x212x26x+2x36x2+10= 6x^3 + 3x^2 - 12x^2 - 6x + 2x^3 - 6x^2 + 10
=8x315x26x+10= 8x^3 - 15x^2 - 6x + 10

3. 最終的な答え

dydx=8x315x26x+10\frac{dy}{dx} = 8x^3 - 15x^2 - 6x + 10

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