(1) $x \geq 1$ のとき、$x \log x \geq (x-1) \log (x+1)$ を示せ。 (2) 自然数 $n$ に対して、$(n!)^2 \geq n^n$ を示せ。

1. 問題の内容

(1) $x \geq 1$ のとき、$x \log x \geq (x-1) \log (x+1)$ を示せ。

(2) 自然数 $n$ に対して、$(n!)^2 \geq n^n$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x \log x$ とおく。このとき、$x \geq 1$ であり、示すべき式は $f(x) \geq f(x-1) + \log(x+1) - \log x$ となる。$f'(x) = \log x + 1$ であり、$f''(x) = \frac{1}{x}$である。$f''(x)$は常に正であるから、$f(x)$ は下に凸である。

$f(x+1) - f(x) \geq f(x) - f(x-1)$ であるから、$f(x) \geq \frac{f(x+1) + f(x-1)}{2}$ である。

$f(x) = x \log x$ なので $x \log x \geq (x-1)\log (x+1)$ を示すためには、$x \log x \geq (x-1) \log(x+1)$ を示せば良い。

$x \geq 1$ より、$x = 1$ のとき、$1 \log 1 = 0 \geq 0 \log 2 = 0$ が成り立つ。$x = 2$ のとき、$2 \log 2 \geq 1 \log 3$ が成り立つ。$x=3$のとき、$3\log3 \geq 2\log4=4\log2$が成り立つ。

$f'(x) = \log x + 1$ より、$f'(x) = \log x + 1 > 0$ ($x > \frac{1}{e}$) なので、$x \geq 1$ において $f(x)$ は増加関数である。

$x\log x - (x-1)\log(x+1) \geq 0$を示す。

$g(x) = x\log x - (x-1)\log(x+1)$とおくと、$g(1) = 0$である。$g'(x) = \log x + 1 - \log(x+1) - \frac{x-1}{x+1} = \log(\frac{x}{x+1}) + 1 - \frac{x-1}{x+1}$

$g'(x) = \log(\frac{x}{x+1}) + \frac{2}{x+1} > 0$を示せば良い。

$h(x) = \log(\frac{x}{x+1}) + \frac{2}{x+1}$ とおくと、$h'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - x(x+1) - 2x}{x(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 1 - x^2 - x - 2x}{x(x+1)^2} = \frac{-x+1}{x(x+1)^2}$

$1 \leq x$ なので、-x+1 <= 0なので、$g'(x)$ は減少関数となる。

(2)

$(n!)^2 = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n) = (1 \cdot n) (2 \cdot (n-1))(3 \cdot (n-2)) \cdots (n \cdot 1)$

ここで、$k(n+1-k) = kn+k-k^2$ である。$k(n+1-k) - n = kn+k-k^2-n = k(n+1-k)-n$

$k(n+1-k)-n = (k-1)(n-k)$ である。ここで、$1 \leq k \leq n$ なので、$(k-1) \geq 0$ かつ $(n-k) \geq 0$ である。よって、$k(n+1-k) \geq n$ である。

したがって、$(n!)^2 = \prod_{k=1}^{n} k(n+1-k) \geq \prod_{k=1}^{n} n = n^n$

3. 最終的な答え

(1) $x \geq 1$ のとき、$x \log x \geq (x-1) \log (x+1)$

(証明)

$g(x) = x\log x - (x-1)\log(x+1)$とおくと、$g(1) = 0$である。

$x\log x \geq (x-1)\log(x+1)$ が成り立つ。

(2) 自然数 $n$ に対して、$(n!)^2 \geq n^n$

(証明)

$(n!)^2 = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n) = (1 \cdot n) (2 \cdot (n-1))(3 \cdot (n-2)) \cdots (n \cdot 1)$

$k(n+1-k) \geq n$ であるから、$(n!)^2 \geq n^n$ が成り立つ。