$x > 1$ のとき、不等式 $\log x < \frac{x^2 - 1}{2x}$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

$x > 1$ のとき、不等式 $\log x < \frac{x^2 - 1}{2x}$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \frac{x^2 - 1}{2x} - \log x$ とおき、$x > 1$ で $f(x) > 0$ であることを示します。

$f(x)$ を微分します。

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 1}{2x} - \log x \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{2x} - \log x \right)$$

$$f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1 - 2x}{2x^2} = \frac{(x-1)^2}{2x^2}$$

$x > 1$ のとき、$(x-1)^2 > 0$ であり、$2x^2 > 0$ なので、$f'(x) > 0$ となります。

したがって、$x > 1$ で $f(x)$ は単調増加関数です。

次に、$x = 1$ のときの $f(x)$ の値を計算します。

$$f(1) = \frac{1^2 - 1}{2 \cdot 1} - \log 1 = \frac{0}{2} - 0 = 0$$

$f(1) = 0$ であり、$x > 1$ で $f(x)$ は単調増加関数なので、$x > 1$ のとき $f(x) > 0$ となります。

したがって、$\frac{x^2 - 1}{2x} - \log x > 0$ となり、$\log x < \frac{x^2 - 1}{2x}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x > 1$ のとき、$\log x < \frac{x^2 - 1}{2x}$ が成り立つ。