与えられた恒等式 $\frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}\right)$ を利用して、次の和 $S$ を求めよ。 $S = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \cdots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$

1. 問題の内容

与えられた恒等式

$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}\right)$

を利用して、次の和 $S$ を求めよ。

$S = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \cdots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$

2. 解き方の手順

与えられた恒等式を利用して、和 $S$ を書き換えます。

$k=1$ のとき $\frac{1}{(3(1)-1)(3(1)+2)} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right)$

$k=2$ のとき $\frac{1}{(3(2)-1)(3(2)+2)} = \frac{1}{5 \cdot 8} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{8}\right)$

$k=3$ のとき $\frac{1}{(3(3)-1)(3(3)+2)} = \frac{1}{8 \cdot 11} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{8} - \frac{1}{11}\right)$

$\cdots$

$k=n$ のとき $\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right)$

したがって、

$S = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \cdots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$

$= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{8}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{8} - \frac{1}{11}\right) + \cdots + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right)$

$= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{11} + \cdots + \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right)$

$= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2}\right)$

$= \frac{1}{3}\left(\frac{3n+2-2}{2(3n+2)}\right)$

$= \frac{1}{3}\left(\frac{3n}{2(3n+2)}\right)$

$= \frac{n}{2(3n+2)}$

$= \frac{n}{6n+4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{6n+4}$