次の2つの関数の不定積分を求める問題です。 (1) $\tan^5 x$ (2) $\frac{1}{1 + \sin x}$

1. 問題の内容

次の2つの関数の不定積分を求める問題です。

(1) $\tan^5 x$

(2) $\frac{1}{1 + \sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $\tan^5 x$ の不定積分を求める。

$\tan^5 x = \tan^3 x \cdot \tan^2 x = \tan^3 x (\sec^2 x - 1) = \tan^3 x \sec^2 x - \tan^3 x$

$\tan^3 x = \tan x \cdot \tan^2 x = \tan x (\sec^2 x - 1) = \tan x \sec^2 x - \tan x$

したがって、

$\tan^5 x = \tan^3 x \sec^2 x - \tan x \sec^2 x + \tan x$

$\int \tan^5 x \, dx = \int (\tan^3 x \sec^2 x - \tan x \sec^2 x + \tan x) \, dx$

$= \int \tan^3 x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \sec^2 x \, dx + \int \tan x \, dx$

$u = \tan x$ とすると、$du = \sec^2 x \, dx$ となるため、

$\int \tan^3 x \sec^2 x \, dx = \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C_1 = \frac{\tan^4 x}{4} + C_1$

$\int \tan x \sec^2 x \, dx = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C_2 = \frac{\tan^2 x}{2} + C_2$

$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx$

$v = \cos x$ とすると、$dv = -\sin x \, dx$ となるため、

$\int \tan x \, dx = -\int \frac{1}{v} \, dv = -\ln |v| + C_3 = -\ln |\cos x| + C_3 = \ln |\sec x| + C_3$

よって、

$\int \tan^5 x \, dx = \frac{\tan^4 x}{4} - \frac{\tan^2 x}{2} + \ln |\sec x| + C$

(2) $\frac{1}{1 + \sin x}$ の不定積分を求める。

$\frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1 - \sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} = \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x - \sec x \tan x$

$\int \frac{1}{1 + \sin x} \, dx = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) \, dx = \int \sec^2 x \, dx - \int \sec x \tan x \, dx$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_1$

$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C_2$

よって、

$\int \frac{1}{1 + \sin x} \, dx = \tan x - \sec x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \tan^5 x \, dx = \frac{\tan^4 x}{4} - \frac{\tan^2 x}{2} + \ln |\sec x| + C$

(2) $\int \frac{1}{1 + \sin x} \, dx = \tan x - \sec x + C$