SENSEI AI
About App

関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta$ が与えられている。 (1) 2倍角の公式を用いて $\sin\theta\cos\theta$ と $\cos^2\theta$ をそれぞれ書き換える。 (2) $f(\theta)$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ を用いて表し、さらに $r\cos(2\theta + \alpha)$ の形に変形する。 (3) $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲で $f(\theta)$ の最大値と最小値を求める。

解析学三角関数加法定理最大値最小値2倍角の公式三角関数の合成
2025/6/28

1. 問題の内容

関数 f(θ)=23cos⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θf(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta が与えられている。
(1) 2倍角の公式を用いて sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta と cos⁡2θ\cos^2\theta をそれぞれ書き換える。
(2) f(θ)f(\theta) を sin⁡2θ\sin 2\theta と cos⁡2θ\cos 2\theta を用いて表し、さらに rcos⁡(2θ+α)r\cos(2\theta + \alpha) の形に変形する。
(3) 0≤θ≤π20 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} の範囲で f(θ)f(\theta) の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2倍角の公式を用いる。
sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta より、sin⁡θcos⁡θ=12sin⁡2θ\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta
cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 より、cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}
(2) (1)の結果を用いて f(θ)f(\theta) を変形する。
f(θ)=23(1+cos⁡2θ2)−2(12sin⁡2θ)=3(1+cos⁡2θ)−sin⁡2θ=3cos⁡2θ−sin⁡2θ+3f(\theta) = 2\sqrt{3} \left( \frac{1+\cos 2\theta}{2} \right) - 2 \left( \frac{1}{2}\sin 2\theta \right) = \sqrt{3}(1+\cos 2\theta) - \sin 2\theta = \sqrt{3}\cos 2\theta - \sin 2\theta + \sqrt{3}
次に、3cos⁡2θ−sin⁡2θ=rcos⁡(2θ+α)\sqrt{3}\cos 2\theta - \sin 2\theta = r\cos(2\theta + \alpha) の形に変形する。
r=(3)2+(−1)2=3+1=4=2r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2
cos⁡α=32,sin⁡α=−12\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \alpha = -\frac{1}{2}
−π<α<π-\pi < \alpha < \pi より、α=−π6\alpha = -\frac{\pi}{6}
したがって、3cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡(2θ−π6)\sqrt{3}\cos 2\theta - \sin 2\theta = 2\cos\left(2\theta - \frac{\pi}{6}\right)
f(θ)=2cos⁡(2θ−π6)+3f(\theta) = 2\cos\left(2\theta - \frac{\pi}{6}\right) + \sqrt{3}
(3) 0≤θ≤π20 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} より、−π6≤2θ−π6≤5π6-\frac{\pi}{6} \leq 2\theta - \frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{6}
したがって、−1≤cos⁡(2θ−π6)≤1-1 \leq \cos \left(2\theta - \frac{\pi}{6} \right) \leq 1
cos⁡(2θ−π6)=1\cos\left(2\theta - \frac{\pi}{6}\right) = 1 のとき、2θ−π6=02\theta - \frac{\pi}{6} = 0 より、θ=π12\theta = \frac{\pi}{12}
このとき、f(θ)=2(1)+3=2+3f(\theta) = 2(1) + \sqrt{3} = 2+\sqrt{3} (最大値)
cos⁡(2θ−π6)=−12\cos\left(2\theta - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} のとき、2θ−π6=2π32\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} より、θ=5π12\theta = \frac{5\pi}{12}
このとき、f(θ)=2(−12)+3=3−1f(\theta) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3} = \sqrt{3}-1 (最小値)

3. 最終的な答え

ア: 12sin⁡2θ\frac{1}{2}\sin 2\theta
イ: 1+cos⁡2θ2\frac{1+\cos 2\theta}{2}
ウ: 3\sqrt{3}
エ: 3\sqrt{3}
オ: 2
カ: −π6-\frac{\pi}{6}
キ: π12\frac{\pi}{12} のとき、最大値 2+32+\sqrt{3}
ク: 2
ケ: + 3\sqrt{3}
コ: 5π12\frac{5\pi}{12} のとき、最小値 3−1\sqrt{3} - 1
サ: 3\sqrt{3}
シ: -1

「解析学」の関連問題

関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx + \frac{7}{2}$ および $g(x) = x^2 + 8x + r$ が与えられている。曲線 $y=f(x)$ を $C$, 放物線 ...

微分極値接線積分面積
2025/6/28

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ であることを用いて、$\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12}$ の...

三角関数加法定理2倍角の公式sincos
2025/6/28

$x > 1$ のとき、不等式 $\log x < \frac{x^2 - 1}{2x}$ が成り立つことを示す問題です。

不等式対数関数微分単調増加導関数
2025/6/28

$\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ を求めます。

三角関数方程式解法
2025/6/28

問題は、$\tan(2\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$を満たす$\theta$を求める問題です。

三角関数tan方程式
2025/6/28

与えられた問題は2つあります。 (1) $x > 0$ のとき、不等式 $\log(x+1) < x$ を証明すること。 (2) $a$ を定数とするとき、方程式 $\log x - x = a$ と...

不等式対数関数指数関数実数解微分単調性極値
2025/6/28

関数 $f(x) = -x^2 + 2x$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値を $M(a)$ とする。$M(a)$を求める問題を解く。

最大値関数二次関数平方完成場合分け
2025/6/28

次の2つの関数の不定積分を求める問題です。 (1) $\tan^5 x$ (2) $\frac{1}{1 + \sin x}$

不定積分三角関数積分
2025/6/28

与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。 数列は $S_n = 3\cdot 2 + 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2^3 + 12 \cdot 2^4 + \cdots + ...

数列級数等比数列の和
2025/6/28

数列$\{a_n\}$は初項 $a_1 = 3$、公比5の等比数列である。このとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ を求めよ。

数列無限級数等比数列収束無限等比級数
2025/6/28