数列$\{a_n\}$は初項 $a_1 = 3$、公比5の等比数列である。このとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$は初項 $a_1 = 3$、公比5の等比数列である。このとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等比数列$\{a_n\}$の一般項を求める。初項 $a_1$、公比 $r$ の等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で与えられる。この問題では $a_1 = 3$、 $r = 5$ なので、

$a_n = 3 \cdot 5^{n-1}$

である。

次に、無限級数の各項を計算する。$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{3 \cdot 5^{n-1}}$となる。

よって、求めたい無限級数は

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3 \cdot 5^{n-1}} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n-1}}$

と表せる。ここで$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n-1}}$は、初項1、公比$\frac{1}{5}$の無限等比級数である。

無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ が収束するための条件は $|r| < 1$ であり、このときその和は $\frac{a}{1-r}$ である。この問題では $a=1$, $r=\frac{1}{5}$ であり、$|\frac{1}{5}| < 1$ なので、無限等比級数は収束し、その和は $\frac{1}{1-\frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$ となる。

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{12}$

である。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{12}$