実数 $a, b$ について、次の不等式を証明せよ。ただし、$0 < p \leq 1$ とする。 $|a+b|^p \leq |a|^p + |b|^p$

1. 問題の内容

実数 $a, b$ について、次の不等式を証明せよ。ただし、$0 < p \leq 1$ とする。

$|a+b|^p \leq |a|^p + |b|^p$

2. 解き方の手順

まず、$|a+b| \leq |a| + |b|$ (三角不等式) が成立することは既知とする。

$0 < p \leq 1$ であるから、$f(x) = x^p$ は $x \geq 0$ において concave (上に凸) である。

つまり、$0 \leq t \leq 1$ に対して、

$f(tx_1 + (1-t)x_2) \geq t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$

が成立する。

$x = |a|$, $y = |b|$ とおき、$x+y > 0$ とする。($x=y=0$ の場合は明らか)

$t = \frac{x}{x+y}$, $1-t = \frac{y}{x+y}$ とおくと、$0 \leq t \leq 1$ であり、

$tf(x+y) = \frac{x}{x+y} (x+y)^p = x (x+y)^{p-1}$

$tf(x) + (1-t)f(y) = \frac{x}{x+y} x^p + \frac{y}{x+y} y^p = \frac{x^{p+1} + y^{p+1}}{x+y}$

したがって、$f(x) = x^p$ が concave であることから

$(x+y)^p \leq x^p + y^p$

つまり

$(|a|+|b|)^p \leq |a|^p + |b|^p$

$|a+b| \leq |a| + |b|$ であるから、$x^p$ が単調増加であることを用いれば、

$|a+b|^p \leq (|a|+|b|)^p$

$|a+b|^p \leq (|a|+|b|)^p \leq |a|^p + |b|^p$

よって、

$|a+b|^p \leq |a|^p + |b|^p$

3. 最終的な答え

$|a+b|^p \leq |a|^p + |b|^p$