$0 < a < b$ のとき、不等式 $\sqrt{ab} < \frac{b-a}{\log b - \log a} < \frac{a+b}{2}$ が成り立つことを示す。ただし、対数は自然対数とする。

1. 問題の内容

$0 < a < b$ のとき、不等式 $\sqrt{ab} < \frac{b-a}{\log b - \log a} < \frac{a+b}{2}$ が成り立つことを示す。ただし、対数は自然対数とする。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{ab} < \frac{b-a}{\log b - \log a}$ を示す。

$f(x) = \log x$ とすると、$f'(x) = \frac{1}{x}$ である。

平均値の定理より、ある $c \in (a, b)$ が存在して、

$\frac{\log b - \log a}{b-a} = \frac{1}{c}$

が成り立つ。よって、

$\frac{b-a}{\log b - \log a} = c$

これを示すためには、$\sqrt{ab} < c$ を示す必要がある。

$a < c < b$ より、$a < c$ かつ $c < b$ である。

$\sqrt{ab} < c$ を示すことは、$\sqrt{ab} < c < b$ を示すことにつながる。

$c$ は $(a, b)$ の間の値なので、$c > \sqrt{ab}$ を示すことは難しい。

代わりに、$g(x) = \frac{1}{x}$ が $(a, b)$ で減少関数であることに注目する。$\frac{\log b - \log a}{b-a} = \frac{1}{c}$ であり、$a < c < b$ より、$\frac{1}{b} < \frac{1}{c} < \frac{1}{a}$ が成り立つ。

次に、$F(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ とすると、$F'(x) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$ である。

平均値の定理より、ある $d \in (a, b)$ が存在して、

$\frac{\log b - \log a}{b - a} = \frac{1}{c}$ が成り立つ。

$f(x) = \frac{1}{x}$ は凸関数であるから、

$\frac{1}{c} = \frac{\log b - \log a}{b - a} > \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{a + b}{2ab}$ が成り立つ。

ゆえに、$c = \frac{b - a}{\log b - \log a} < \frac{2ab}{a + b}$ となる。

ここで、相加平均と相乗平均の関係より、$\frac{a + b}{2} > \sqrt{ab}$ が成り立つ。

また、調和平均と相乗平均の関係より、$\sqrt{ab} > \frac{2ab}{a+b}$ が成り立つ。

よって、$\frac{2ab}{a+b} < \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}$ である。

$\frac{b-a}{\log b - \log a} = \frac{b-a}{\log \frac{b}{a}}$ と変形できる。

$t = \frac{b}{a} > 1$ とおくと、$b = at$ であり、

$\frac{b-a}{\log b - \log a} = \frac{at-a}{\log(at) - \log a} = \frac{a(t-1)}{\log a + \log t - \log a} = \frac{a(t-1)}{\log t}$ となる。

$\sqrt{ab} = \sqrt{a \cdot at} = a\sqrt{t}$

$\frac{a+b}{2} = \frac{a+at}{2} = \frac{a(1+t)}{2}$

したがって、$\sqrt{t} < \frac{t-1}{\log t} < \frac{t+1}{2}$ を示せば良い。

$f(t) = \frac{t-1}{\log t}$ とする。このとき、$f(1) = 1$ である。

$\sqrt{t} < \frac{t-1}{\log t}$ について、$t = e^x$ とおくと、

$\sqrt{e^x} < \frac{e^x - 1}{x}$ つまり、$e^{\frac{x}{2}} < \frac{e^x - 1}{x}$ を示せば良い。

$x > 0$ のとき、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$ より、

$\frac{e^x - 1}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots$

$e^{\frac{x}{2}} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{(\frac{x}{2})^2}{2!} + \cdots = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8} + \cdots$

$1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots > 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8} + \cdots$

$\sqrt{t} < \frac{t-1}{\log t}$ は成り立つ。

$\frac{t-1}{\log t} < \frac{t+1}{2}$ について、$(t-1)\frac{2}{t+1} < \log t$ を示せば良い。

$f(t) = \log t - (t-1)\frac{2}{t+1}$ とおく。$f(1) = 0$ である。

$f'(t) = \frac{1}{t} - 2 \frac{(t+1) - (t-1)}{(t+1)^2} = \frac{1}{t} - \frac{4}{(t+1)^2} = \frac{(t+1)^2 - 4t}{t(t+1)^2} = \frac{t^2 + 2t + 1 - 4t}{t(t+1)^2} = \frac{t^2 - 2t + 1}{t(t+1)^2} = \frac{(t-1)^2}{t(t+1)^2} > 0$

したがって、$f(t)$ は $t > 1$ で増加関数である。

$f(1) = 0$ より、$f(t) > 0$ が成立する。

3. 最終的な答え

不等式 $\sqrt{ab} < \frac{b-a}{\log b - \log a} < \frac{a+b}{2}$ が成り立つ。