(1) 関数 $f(x) = x^3 - ax^2 + 2ax - 1$ が常に増加するための定数 $a$ のとり得る値の範囲を求めます。 (2) 関数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + (a+2)x + 1$ が常に増加するための定数 $a$ のとり得る値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^3 - ax^2 + 2ax - 1$ が常に増加するための定数 $a$ のとり得る値の範囲を求めます。

(2) 関数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + (a+2)x + 1$ が常に増加するための定数 $a$ のとり得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = x^3 - ax^2 + 2ax - 1$ が常に増加するためには、$f'(x) \geq 0$ がすべての $x$ で成り立つ必要があります。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 2ax + 2a$

$f'(x) \geq 0$ がすべての $x$ で成り立つためには、$f'(x)$ の判別式 $D$ が $D \leq 0$ でなければなりません。

$D = (-2a)^2 - 4(3)(2a) = 4a^2 - 24a = 4a(a - 6)$

$D \leq 0$ より、

$4a(a - 6) \leq 0$

$a(a - 6) \leq 0$

したがって、$0 \leq a \leq 6$ となります。

(2) 関数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + (a+2)x + 1$ が常に増加するためには、$f'(x) \geq 0$ がすべての $x$ で成り立つ必要があります。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3ax^2 + 6x + (a+2)$

$f(x)$ が3次関数であるためには、$a \neq 0$ である必要があります。$a = 0$ の場合、$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ となり、これは二次関数であるためです。

$a > 0$ の場合、$x$ が十分に大きいとき、$f'(x)$ は正になるため、この条件を考慮します。

$a < 0$ の場合、$x$ が十分に大きいとき、$f'(x)$ は負になるため、これは条件を満たしません。

したがって、$a > 0$ である必要があります。

$f'(x) \geq 0$ がすべての $x$ で成り立つためには、$f'(x)$ の判別式 $D$ が $D \leq 0$ でなければなりません。

$D = 6^2 - 4(3a)(a+2) = 36 - 12a(a+2) = 36 - 12a^2 - 24a$

$D \leq 0$ より、

$36 - 12a^2 - 24a \leq 0$

$12a^2 + 24a - 36 \geq 0$

$a^2 + 2a - 3 \geq 0$

$(a+3)(a-1) \geq 0$

したがって、$a \leq -3$ または $a \geq 1$ となります。

$a > 0$ でなければならないため、$a \geq 1$ となります。

$a = 0$ の場合、$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$, $f'(x) = 6x + 2$ です。$f'(x) \geq 0$ となるのは $x \geq -1/3$ の場合のみなので、これは常に増加するとは言えません。

よって、$a=0$ は条件を満たしません。

3. 最終的な答え

(1) $0 \leq a \leq 6$

(2) $a \geq 1$