方程式 $f(x) = \sin x - x\cos x = 0$ が、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも1つの解を持つことを示す問題です。

1. 問題の内容

方程式 $f(x) = \sin x - x\cos x = 0$ が、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも1つの解を持つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

この問題は中間値の定理を利用して解きます。中間値の定理は、ある閉区間 $[a, b]$ で連続な関数 $f(x)$ について、$f(a)$ と $f(b)$ の符号が異なる場合、$f(c) = 0$ となる $c$ が開区間 $(a, b)$ に少なくとも1つ存在するというものです。

まず、関数 $f(x) = \sin x - x\cos x$ が連続であることを確認します。$\sin x$ と $\cos x$ は連続関数であり、$x$ も連続関数なので、$f(x)$ は連続です。

次に、区間の端点での $f(x)$ の値を計算します。

$x = \pi$ のとき、

$f(\pi) = \sin \pi - \pi \cos \pi = 0 - \pi(-1) = \pi > 0$

$x = \frac{3}{2}\pi$ のとき、

$f(\frac{3}{2}\pi) = \sin \frac{3}{2}\pi - \frac{3}{2}\pi \cos \frac{3}{2}\pi = -1 - \frac{3}{2}\pi(0) = -1 < 0$

$f(\pi) > 0$ であり、$f(\frac{3}{2}\pi) < 0$ であるため、$f(\pi)$ と $f(\frac{3}{2}\pi)$ の符号が異なります。

したがって、中間値の定理より、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に $f(c) = 0$ となる $c$ が少なくとも1つ存在します。つまり、方程式 $\sin x - x\cos x = 0$ は、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも1つの解を持ちます。

3. 最終的な答え

方程式 $\sin x - x\cos x = 0$ は、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも1つの解を持つ。