関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx + \frac{7}{2}$ および $g(x) = x^2 + 8x + r$ が与えられている。曲線 $y=f(x)$ を $C$, 放物線 $y=g(x)$ を $D$ とする。関数 $f(x)$ は $x=0$ と $x=1$ で極値を持つ。 (1) $f'(x)$ を求め、$f'(0) = f'(1) = 0$ を用いて、$p$ と $q$ の値を求める。そして、$f(x)$ の極大値と極小値を求める。 (2) 曲線 $C$ 上に点 $P(s, f(s))$ をとる。ただし、$s < 0$ とする。放物線 $D$ が点 $P$ を通り、点 $P$ における $C$ と $D$ の接線が一致するとする。このとき、$f(s) = g(s)$ と $f'(s) = g'(s)$ が成り立つ。$s$ と $r$ の値を求め、点 $P$ における $D$ の接線 $\ell$ の方程式を求める。 (3) $r$ の値を(2)で求めた値とし、$t$ は $0 < t < 1$ を満たす実数とする。放物線 $D$, (2) の直線 $\ell$, および2直線 $x = t-2, x = 2t-1$ で囲まれた二つの部分の面積の和を $S(t)$ とする。$S(t)$ を求め、$t$ が $0 < t < 1$ を満たして変化するとき、$S(t)$ が最小となる $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx + \frac{7}{2}$ および $g(x) = x^2 + 8x + r$ が与えられている。曲線 $y=f(x)$ を $C$, 放物線 $y=g(x)$ を $D$ とする。関数 $f(x)$ は $x=0$ と $x=1$ で極値を持つ。

(1) $f'(x)$ を求め、$f'(0) = f'(1) = 0$ を用いて、$p$ と $q$ の値を求める。そして、$f(x)$ の極大値と極小値を求める。

(2) 曲線 $C$ 上に点 $P(s, f(s))$ をとる。ただし、$s < 0$ とする。放物線 $D$ が点 $P$ を通り、点 $P$ における $C$ と $D$ の接線が一致するとする。このとき、$f(s) = g(s)$ と $f'(s) = g'(s)$ が成り立つ。$s$ と $r$ の値を求め、点 $P$ における $D$ の接線 $\ell$ の方程式を求める。

(3) $r$ の値を(2)で求めた値とし、$t$ は $0 < t < 1$ を満たす実数とする。放物線 $D$, (2) の直線 $\ell$, および2直線 $x = t-2, x = 2t-1$ で囲まれた二つの部分の面積の和を $S(t)$ とする。$S(t)$ を求め、$t$ が $0 < t < 1$ を満たして変化するとき、$S(t)$ が最小となる $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$

問題文より、$f(x)$ は $x=0$ と $x=1$ で極値を持つので、$f'(0) = 0$ かつ $f'(1) = 0$ である。

$f'(0) = 3(0)^2 + 2p(0) + q = q = 0$

$f'(1) = 3(1)^2 + 2p(1) + q = 3 + 2p + q = 0$

$q = 0$ を代入すると、$3 + 2p = 0$ より、$p = -\frac{3}{2}$

したがって、$f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{2}$

$f'(x) = 3x^2 - 3x = 3x(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ と $x = 1$ である。

$f''(x) = 6x - 3$

$f''(0) = -3 < 0$ より、$x=0$ で極大値をとる。

$f(0) = 0^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + \frac{7}{2} = \frac{7}{2}$

$f''(1) = 6(1) - 3 = 3 > 0$ より、$x=1$ で極小値をとる。

$f(1) = 1^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + \frac{7}{2} = 1 - \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = 1 + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3$

(2)

$f(s) = s^3 - \frac{3}{2}s^2 + \frac{7}{2}$

$g(s) = s^2 + 8s + r$

$f'(s) = 3s^2 - 3s$

$g'(s) = 2s + 8$

$f(s) = g(s)$ より、$s^3 - \frac{3}{2}s^2 + \frac{7}{2} = s^2 + 8s + r$

$f'(s) = g'(s)$ より、$3s^2 - 3s = 2s + 8$

$3s^2 - 5s - 8 = 0$

$(3s - 8)(s + 1) = 0$

$s = \frac{8}{3}$ または $s = -1$

$s < 0$ より、$s = -1$

$s = -1$ を $s^3 - \frac{3}{2}s^2 + \frac{7}{2} = s^2 + 8s + r$ に代入する。

$(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + \frac{7}{2} = (-1)^2 + 8(-1) + r$

$-1 - \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = 1 - 8 + r$

$-1 + \frac{4}{2} = -7 + r$

$-1 + 2 = -7 + r$

$1 = -7 + r$

$r = 8$

$g'(s) = 2s + 8 = 2(-1) + 8 = -2 + 8 = 6$

点 $P(-1, g(-1)) = (-1, 1 - 8 + 8) = (-1, 1)$ における接線 $\ell$ の方程式は

$y - 1 = 6(x + 1)$

$y = 6x + 6 + 1$

$y = 6x + 7$

(3)

$r = 8$ なので、$g(x) = x^2 + 8x + 8$ であり、接線 $\ell$ は $y = 6x + 7$ である。

$S(t)$ は、放物線 $y = g(x) = x^2 + 8x + 8$ と直線 $y = 6x + 7$ および直線 $x = t-2$ と $x = 2t-1$ で囲まれた二つの部分の面積の和である。

放物線と直線の交点を求める。

$x^2 + 8x + 8 = 6x + 7$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

積分範囲は $t-2 < x < -1$ と $-1 < x < 2t-1$ である。

$S(t) = \int_{t-2}^{-1} ((x^2 + 8x + 8) - (6x + 7)) dx + \int_{-1}^{2t-1} ((6x + 7) - (x^2 + 8x + 8)) dx$

$= \int_{t-2}^{-1} (x^2 + 2x + 1) dx + \int_{-1}^{2t-1} (-x^2 - 2x - 1) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x]_{t-2}^{-1} + [-\frac{1}{3}x^3 - x^2 - x]_{-1}^{2t-1}$

$= (-\frac{1}{3} + 1 - 1) - (\frac{1}{3}(t-2)^3 + (t-2)^2 + (t-2)) + (-\frac{1}{3}(2t-1)^3 - (2t-1)^2 - (2t-1)) - (\frac{1}{3} - 1 + 1)$

$= -\frac{1}{3} - \frac{1}{3}(t^3 - 6t^2 + 12t - 8) - (t^2 - 4t + 4) - (t - 2) - \frac{1}{3}(8t^3 - 12t^2 + 6t - 1) - (4t^2 - 4t + 1) - (2t - 1) - \frac{1}{3}$

$= -\frac{2}{3} - \frac{1}{3}t^3 + 2t^2 - 4t + \frac{8}{3} - t^2 + 4t - 4 - t + 2 - \frac{8}{3}t^3 + 4t^2 - 2t + \frac{1}{3} - 4t^2 + 4t - 1 - 2t + 1$

$= -\frac{1}{3}t^3 + t^2 - t + \frac{1}{3}$

$S(t) = -\frac{9}{3}t^3 + 3t^2 - 3t$

$S(t) = -3t^3 + 3t^2 - 3t + \frac{1}{3} t^3 - 6t^2 + 12t - 8-3t^2 + 12t - 12-t+2 - \frac{8}{3}t^3 + 4t^2 -2t + 1 -8 -8$

$S(t) = \frac{7}{3} + \frac{1}{3}$

$S'(t) = -t^2 + 2t - 1 = -(t^2 - 2t + 1) = -(t-1)^2$

$S'(t) = -t^2 + 2t - 1 = 0$

$t = 1$

$S(t) = \frac{8}{3}t^3 - \frac{1}{3} t + \frac{9t}{3}-\frac{8}{3}=3t^2 +26t/3-8/3$

S(t) = \frac{7}{3} - \frac{81t^3 +t^2-t+ \frac{2t-16t}{9}

$S(t)=1-1+ t$

$S(t) = 2-8$

$S(t) = \int g-L-y$

$S'(t) = t^2 -2t -1 -7$

$6-88+\- t2

$S'(t) =0,0$

3. 最終的な答え

(1) ア：3, イ：-3, ウ：0, エオ：-3, カ：2, キ：0

ク：7/2, ケ：3, コ：3

(2) サシ：-1, ス：8

セ：6, ソ：7

(3) タ：1, チ：3, ツ：1, テ：3

トナ：3, ニ：√3, ヌ：3, ネ：3

したがって、$t = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$