問題は、曲線 $y = \frac{x^2}{2}$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $A(1, \frac{1}{2})$ における接線を $l$ とするとき、以下の問いに答えるものです。 (1) 接線 $l$ の方程式を求める。 (2) 曲線 $C$ と接線 $l$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。 (3) $y = x\sqrt{1+x^2} + \log(x + \sqrt{1+x^2})$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ を求める。 (4) 曲線 $C$ の原点 $O$ から点 $A$ までの曲線の長さを求める。

1. 問題の内容

問題は、曲線 $y = \frac{x^2}{2}$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $A(1, \frac{1}{2})$ における接線を $l$ とするとき、以下の問いに答えるものです。

(1) 接線 $l$ の方程式を求める。

(2) 曲線 $C$ と接線 $l$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。

(3) $y = x\sqrt{1+x^2} + \log(x + \sqrt{1+x^2})$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

(4) 曲線 $C$ の原点 $O$ から点 $A$ までの曲線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線 $l$ の方程式を求める。

$y = \frac{x^2}{2}$ を微分すると $y' = x$ となります。点 $A(1, \frac{1}{2})$ における接線の傾きは $y'(1) = 1$ です。したがって、接線 $l$ の方程式は、

$y - \frac{1}{2} = 1(x - 1)$

$y = x - 1 + \frac{1}{2}$

$y = x - \frac{1}{2}$

(2) 曲線 $C$ と接線 $l$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。

曲線 $C$ と接線 $l$ の交点の $x$ 座標は、$x = \frac{x^2}{2}$ より、$x^2 - 2x = 0$ なので、$x(x - 2) = 0$ となり、$x = 0, 2$ です。したがって、$x=1$における接線なので、$x=0$から$x=1$の範囲で積分を行います。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_0^1 (x - \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2}) dx$

$S = [\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}x - \frac{x^3}{6}]_0^1$

$S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$. 絶対値をとるので$\frac{1}{6}$となります。計算間違えがあるようです。もう一度計算し直すと、

$S = \int_0^1 (\frac{x^2}{2} - (x - \frac{1}{2}))dx = \int_0^1 (\frac{x^2}{2} - x + \frac{1}{2})dx = [\frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x]_0^1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

(3) $y = x\sqrt{1+x^2} + \log(x + \sqrt{1+x^2})$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1+x^2} + x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} + \frac{1 + \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{x + \sqrt{1+x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1+x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1+x^2+x^2+1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{2+2x^2}{\sqrt{1+x^2}} = 2\sqrt{1+x^2}$

(4) 曲線 $C$ の原点 $O$ から点 $A$ までの曲線の長さを求める。

$y = \frac{x^2}{2}$ なので $y' = x$

曲線の長さ $L = \int_0^1 \sqrt{1+(y')^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx$

$\int \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2} + \log(x + \sqrt{1+x^2}))$

$L = [\frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2} + \log(x + \sqrt{1+x^2}))]_0^1 = \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \log(1+\sqrt{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $y = x - \frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $2\sqrt{1+x^2}$

(4) $\frac{1}{2}\{\sqrt{2} + \log(1+\sqrt{2})\}$

答えの形式に合わせて修正します。

(1) 接線 $l$ の方程式は、$y = x - \frac{1}{2}$

(2) 曲線 $C$ と接線 $l$ と $y$ 軸で囲まれた部分の図形の面積は、$\frac{1}{6}$

(3) $y = x\sqrt{1+x^2} + \log(x + \sqrt{1+x^2})$ とするとき、$\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{1+x^2}$

(4) 曲線 $C$ の原点 $O$ から点 $A$ までの曲線の長さは、$\frac{1}{2}\{\sqrt{2} + \log(1 + \sqrt{2})\}$

(1) $y = x - \frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $2 \sqrt{1+x^2}$

(4) $\frac{1}{2}\{\sqrt{2} + \log(1+\sqrt{2})\}$

最終的な答え

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{x^2}{2}$ 上の点 $(1, \frac{1}{2})$ における接線と、$y$軸と曲線で囲まれた図形の面積や、複雑な関数の導関数、曲線の長さを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x^2}{2}$ を微分すると $y' = x$。$x=1$での傾きは $1$。よって、$y - \frac{1}{2} = 1(x - 1)$ より、$y = x - \frac{1}{2}$

(2) $\int_0^1 \frac{x^2}{2} - (x - \frac{1}{2}) dx = \int_0^1 \frac{x^2}{2} - x + \frac{1}{2} dx = [\frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}]_0^1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

(3) $y' = (x\sqrt{1+x^2})' + (\log(x+\sqrt{1+x^2}))' = \sqrt{1+x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+x^2 + x^2}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{2+2x^2}{\sqrt{1+x^2}} = 2\sqrt{1+x^2}$

(4) 曲線長は $\int_0^1 \sqrt{1 + (y')^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx$。この積分は部分積分を用いるか、公式として覚えておく。

$\int \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2} + \log(x+\sqrt{1+x^2})) + C$

よって、$\int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \log(1+\sqrt{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $y = x - \frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $2\sqrt{1+x^2}$

(4) $\frac{1}{2} (\sqrt{2} + \log(1+\sqrt{2}))$

ここで問題文の形式に合わせると

(1) $y = x - \frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $2\sqrt{1+x^2}$

(4) $\frac{1}{2}\{\sqrt{2} + \log(1+\sqrt{2})\}$

となります。

問題文に合うように最終的に調整すると

(1) 接線 $l$ の方程式は、$y = x - \frac{1}{2}$ である。

(2) 曲線 $C$ と接線 $l$ と $y$ 軸で囲まれた部分の図形の面積は、$\frac{1}{6}$ である。

(3) $y = x\sqrt{1+x^2} + \log(x + \sqrt{1+x^2})$ とするとき、$\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{1+x^2}$ である。

(4) 曲線 $C$ の原点 $O$ から点 $A$ までの曲線の長さは、$\frac{1}{2}\{\sqrt{2} + \log(1+\sqrt{2})\}$ である。

となります。最終回答は以下の通りです。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{x^2}{2}$ に関する接線の方程式、面積、微分、曲線長を求める問題。

2. 解き方の手順

画像から読み取れる穴埋め形式に合わせて解答する。

(1) $y' = x$ より $y'(1) = 1$。よって、$y - \frac{1}{2} = 1(x - 1)$ つまり $y = x - \frac{1}{2}$。

(2) $\int_0^1 (x - \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}x - \frac{x^3}{6}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = - \frac{1}{6}$。絶対値を取り$\frac{1}{6}$

(3) $y' = \sqrt{1+x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{2+2x^2}{\sqrt{1+x^2}} = 2\sqrt{1+x^2}$

(4) 曲線長 = $\int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{2}[x\sqrt{1+x^2} + \log(x+\sqrt{1+x^2})]_0^1 = \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \log(1+\sqrt{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $2$, $1$, $x^2$

(4) $\frac{1}{2}$, $2$, $1+\sqrt{2}$