放物線 $y = 2 - x^2$ と直線 $y = 1$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2 - x^2$ と直線 $y = 1$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 放物線 $y = 2 - x^2$ と直線 $y = 1$ の交点を求めます。

$2 - x^2 = 1$ より、$x^2 = 1$。よって、$x = \pm 1$。

したがって、交点の$x$座標は $-1$ と $1$ です。

2. 回転体の体積を計算します。$x$軸周りの回転体の体積は、$V = \pi \int_a^b (f(x)^2 - g(x)^2) dx$ で与えられます。ここで、$f(x)$ は外側の関数、$g(x)$ は内側の関数です。

この問題では、$f(x) = 2 - x^2$、$g(x) = 1$、$a = -1$、$b = 1$ です。

したがって、体積 $V$ は次のようになります。

$V = \pi \int_{-1}^1 ((2 - x^2)^2 - 1^2) dx$

3. 積分を計算します。

$V = \pi \int_{-1}^1 (4 - 4x^2 + x^4 - 1) dx$

$V = \pi \int_{-1}^1 (3 - 4x^2 + x^4) dx$

偶関数なので、

$V = 2\pi \int_0^1 (3 - 4x^2 + x^4) dx$

$V = 2\pi [3x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5]_0^1$

$V = 2\pi (3 - \frac{4}{3} + \frac{1}{5})$

$V = 2\pi (\frac{45 - 20 + 3}{15})$

$V = 2\pi (\frac{28}{15})$

$V = \frac{56\pi}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{56\pi}{15}$