定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^2} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^2} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数置換を用いて解くことができます。

ステップ1: 置換

$x = \sinh(t)$ と置換します。すると、$dx = \cosh(t) dt$ となります。

また、積分範囲も変換する必要があります。

$x = 0$ のとき、$\sinh(t) = 0$ なので $t = 0$ です。

$x = 1$ のとき、$\sinh(t) = 1$ なので、$t = \sinh^{-1}(1)$ となります。

$\sinh^{-1}(1) = \ln(1 + \sqrt{2})$ であることも覚えておきます。

ステップ2: 積分の変形

置換を行うと、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^2} dx = \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \sqrt{1+\sinh^2(t)} \cosh(t) dt$

$\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1$ より、$\sqrt{1+\sinh^2(t)} = \cosh(t)$ なので、

$\int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \sqrt{1+\sinh^2(t)} \cosh(t) dt = \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \cosh^2(t) dt$

ステップ3: $\cosh^2(t)$ の積分

$\cosh^2(t) = \frac{1+\cosh(2t)}{2}$ であることを利用します。

$\int \cosh^2(t) dt = \int \frac{1+\cosh(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} \int (1+\cosh(2t)) dt = \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sinh(2t)) + C$

$\sinh(2t) = 2\sinh(t)\cosh(t)$ なので、

$\int \cosh^2(t) dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sinh(2t) + C = \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \sinh(t)\cosh(t) + C$

ステップ4: 定積分の計算

$\int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \cosh^2(t) dt = \left[ \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \sinh(t)\cosh(t) \right]_{0}^{\sinh^{-1}(1)}$

$t = \sinh^{-1}(1)$ のとき、$x = \sinh(t) = 1$ なので、$\cosh(t) = \sqrt{1+\sinh^2(t)} = \sqrt{1+1^2} = \sqrt{2}$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \cosh^2(t) dt = \frac{1}{2} \sinh^{-1}(1) + \frac{1}{2} (1)(\sqrt{2}) - (0+0) = \frac{1}{2} \ln(1+\sqrt{2}) + \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ5: 整理

$\frac{1}{2} \ln(1+\sqrt{2}) + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} (\ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (\ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2})$