曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上の2点 $A(1, 1)$, $P(a, \frac{1}{a})$ ($a > 1$) をとる。$OP, OA,$ および弧$AP$で囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を$V(a)$とする。ただし、$O$は原点とする。このとき、$\lim_{a \to \infty} V(a)$を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上の2点 $A(1, 1)$, $P(a, \frac{1}{a})$ ($a > 1$) をとる。$OP, OA,$ および弧$AP$で囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を$V(a)$とする。ただし、$O$は原点とする。このとき、$\lim_{a \to \infty} V(a)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$OP$、$OA$、$AP$で囲まれる図形を$x$軸周りに回転させた立体の体積$V(a)$を求める。

$V(a)$は、三角形$OAP$を回転させてできる円錐の体積から、曲線$y = \frac{1}{x}$と線分$AP$および$x$軸で囲まれた領域を回転させてできる立体の体積を引いたものとなる。

(1) 三角形OAPを回転させてできる円錐の体積$V_1(a)$を求める。

線分$OP$の方程式は、$y = \frac{1}{a^2}x$である。三角形$OAP$を回転させてできる立体は、$OP$を回転させてできる円錐から、$OA$を回転させてできる円錐を引いたものとなる。

$OP$を回転させてできる円錐の体積は、

$\frac{1}{3} \pi (\frac{1}{a})^2 a = \frac{\pi}{3a}$.

$OA$を回転させてできる円錐の体積は、

$\frac{1}{3} \pi (1)^2 1 = \frac{\pi}{3}$.

したがって、$V_1(a)$は、

$V_1(a) = \frac{\pi}{3a} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}(\frac{1}{a}-1)$.

これは間違っています。

$V_1(a)$は$OP$を回転させた円錐から$OA$を回転させた円錐を引くのではなく、三角形OAPの面積に$2\pi y$をかけて積分する必要があります。ここではパップスギュルダンの定理を利用します。

三角形OAPの面積は、

$\frac{1}{2} |1 \cdot \frac{1}{a} - a \cdot 1| = \frac{1}{2} | \frac{1}{a} - a| = \frac{1}{2}(a - \frac{1}{a})$

重心のy座標は、$\frac{1 + 1 + \frac{1}{a}}{3} = \frac{2 + \frac{1}{a}}{3}$

よって、$V_1(a) = 2\pi \frac{2 + \frac{1}{a}}{3} \cdot \frac{1}{2}(a - \frac{1}{a}) = \frac{2\pi}{6} (2+\frac{1}{a})(a - \frac{1}{a}) = \frac{\pi}{3} (2a + 1 - \frac{2}{a} - \frac{1}{a^2})$

(2) 曲線$y = \frac{1}{x}$と$x$軸、および$x=1$、$x=a$で囲まれた領域を$x$軸周りに回転させてできる立体の体積$V_2(a)$を求める。

$V_2(a) = \int_1^a \pi (\frac{1}{x})^2 dx = \pi \int_1^a \frac{1}{x^2} dx = \pi [-\frac{1}{x}]_1^a = \pi (-\frac{1}{a} + 1) = \pi (1 - \frac{1}{a})$

(3) したがって、$V(a) = V_1(a) - V_2(a)$

$V(a) = \frac{\pi}{3} (2a + 1 - \frac{2}{a} - \frac{1}{a^2}) - \pi (1 - \frac{1}{a}) = \pi (\frac{2}{3}a + \frac{1}{3} - \frac{2}{3a} - \frac{1}{3a^2} - 1 + \frac{1}{a}) = \pi(\frac{2}{3}a - \frac{2}{3} + \frac{1}{3a} - \frac{1}{3a^2})$

(4) $\lim_{a \to \infty} V(a) = \lim_{a \to \infty} \pi(\frac{2}{3}a - \frac{2}{3} + \frac{1}{3a} - \frac{1}{3a^2}) = \infty$

ただし、直線APの下側の体積を引く必要があるので、そこを修正します。

直線APの方程式を求める。

$y - 1 = \frac{\frac{1}{a} - 1}{a - 1} (x - 1) = \frac{1 - a}{a(a - 1)} (x - 1) = -\frac{1}{a} (x - 1)$

$y = -\frac{1}{a} x + \frac{1}{a} + 1$

$V(a) = \pi \int_{1}^{a} (\frac{1}{x})^2 - (-\frac{1}{a} x + \frac{1}{a} + 1)^2 dx$

$V(a) = \pi \int_{1}^{a} (\frac{1}{x})^2 - (\frac{1}{a^2} x^2 + (\frac{1}{a} + 1)^2 - \frac{2}{a} (\frac{1}{a} + 1)x ) dx$

$V(a) = \pi [-\frac{1}{x} - \frac{1}{3a^2}x^3 - (\frac{1}{a} + 1)^2 x + \frac{1}{a} (\frac{1}{a} + 1)x^2 ]_1^{a}$

$V(a) = \pi (-\frac{1}{a} - \frac{1}{3} - (\frac{1}{a} + 1)^2 a + \frac{1}{a} (\frac{1}{a} + 1)a^2 + 1 + \frac{1}{3a^2} + (\frac{1}{a} + 1)^2 - \frac{1}{a} (\frac{1}{a} + 1))$

計算が複雑なので、方針を変えます。

OPとx軸、APとx軸、弧APとx軸に囲まれる部分をx軸回転した体積をそれぞれ求めることにします。

OPとx軸のなす角を$\theta_1$、OAとx軸のなす角を$\theta_2$とすると、$tan(\theta_1) = \frac{1}{a}$、$tan(\theta_2) = 1$となります。

OP回転体積：$\frac{1}{3}\pi (\frac{1}{a})^2 a = \frac{\pi}{3a}$

OA回転体積：$\frac{1}{3}\pi (1)^2 1 = \frac{\pi}{3}$

OAとOPのなす角を回転させると円錐台の体積になる。

AP回転体積：$\int_{1}^{a} \pi (\frac{1}{x})^2 dx = \pi (1 - \frac{1}{a})$

AP直線回転体積：$\pi \int_{1}^{a} (-\frac{1}{a} x + \frac{1}{a} + 1)^2 dx$

$= \pi [\frac{(-\frac{1}{a} x + \frac{1}{a} + 1)^3}{3 (-\frac{1}{a})}]_1^a$

$= \frac{\pi}{-\frac{3}{a}} [(\frac{-a}{a} + \frac{1}{a} + 1)^3 - (-\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + 1)^3]$

$= \frac{a\pi}{-3} [(\frac{1}{a})^3 - 1]$

$= \frac{a\pi}{3} (1 - \frac{1}{a^3})$

$V(a) = \frac{\pi}{3} + \pi (1 - \frac{1}{a}) + \frac{a\pi}{3} (1 - \frac{1}{a^3}) = \frac{\pi}{3a}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$